题目内容
已知曲线y=
x3+
的切线l过点A（2，4），则切线l与y=x2及x轴围成图形的面积为 ．
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分
专题：导数的综合应用
分析：求出函数y=
x3+
在点A（2，4）处的切线方程，然后把切线l与y=x2及x轴围成图形的面积转化为定积分
x2dx
(x2-4x+4)dx求解．
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| 3 |
| 4 |
| 3 |
| ∫ | 1 0 |
| +∫ | 2 1 |
解答：
解：∵点A（2，4）在曲线y=
x3+
上，
y′=x2，
∴y′|x=2=4，
∴切线l的方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
联立
，解得：x=2．
∴切线l与y=x2及x轴围成图形的面积为：
x2dx
(x2-4x+4)dx=
x3
+(
x3-2x2+4x
=
+
-8+8-
+2-4=
．
故答案为：
．
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| 3 |
| 4 |
| 3 |
y′=x2，
∴y′|x=2=4，
∴切线l的方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
联立
|
∴切线l与y=x2及x轴围成图形的面积为：
| ∫ | 1 0 |
| +∫ | 2 1 |
| 1 |
| 3 |
| | | 1 0 |
| 1 |
| 3 |
| )| | 2 1 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
故答案为：
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| 3 |
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了定积分的求法，是中档题．
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