对于函数f(x)及其定义域内的一个区间[m.n]在[m.n]内的值域为[m.n].则称[m.n]为f(x)的“保值区间．(1)求函数y=-x+6的一个“保值区间 ,-a2x的“保值区间是[m.n].求n-m的最大值,=ax2-2x的“保值区间能否是[-1.2]?若能.求出a的一个值,若不能.说明理由,=x2-2x的一个“保值区间 ,判断是否还有其它的“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于函数f（x）及其定义域内的一个区间[m，n]（m＜n），若f（x）在[m，n]内的值域为[m，n]，则称[m，n]为f（x）的“保值区间”．
（1）求函数y=-x+6的一个“保值区间”；
（2）若函数y=（1+a）-

的“保值区间”是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”能否是[-1，2]？若能，求出a的一个值；若不能，说明理由；
（4）写出函数f（x）=x²-2x的一个“保值区间”；判断是否还有其它的“保值区间”（不必证明）．

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）对于R上的减函数y=-x+6，当x∈[0，6]时，y=-x+6∈[0，6]，可得求函数y=-x+6的一个“保值区间”；
（2）依题意，m，n是方程x²-（1+a）x+a²=0的两个实数根，结合韦达定理，可求得，（n-m）_max=

；
（3）通过对a=0、a＞0、a＜0的讨论，利用二次函数的单调性质，可知不存在a使得函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”是[-1，2]；
（4）依题意，当x∈[-1，3]时，f（x）=x²-2x∈[-1，3]，即“保值区间”为[-1，3]，除此之外，没有其它的“保值区间”．

解答： 解：对于（1），由于y=-x+6为减函数，
当x∈[0，6]时，y=-x+6∈[0，6]，故区间[0，6]为函数y=-x+6的一个“保值区间”；
对于（2），由于函数y=f（x）=（1+a）-

为（-∞，0）或（0，+∞）内的增函数，且其“保值区间”是[m，n]，
所以，

f(m)=m

f(n)=n

，即（1+a）-

=m，且（1+a）-

=n，
所以，m，n是方程x²-（1+a）x+a²=0的两个实数根，于是△=（1+a）²-4a²=-3a²+2a+1＞0，解得-

＜a＜1；
且m+n=1+a，mn=a²，又m＜n，
故n-m=

(n+m)2-4mn

(1+a)2-4a2

-3(a-

)2+

，
显然，当a=

时，（n-m）_max=

；
对于（3），由于f（x）=ax²-2x，
当a=0时，f（x）=-2x，假设其“保值区间”是[-1，2]，由f（x）=-2x为减函数得，

f(-1)=2

f(2)=-4≠-1

，故a=0时不成立；
当a＞0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=

＞0，
若

≥2，y=f（x）在[-1，2]为减函数，

f(-1)=a+2=2

f(2)=4a-4=-1

，解得a∈∅；
若

∈（0，2]，则f（

）=-1，且（f（-1），f（2））_max=2，解得：a=1，但f（-1）=3，f（2）=0，不满足题意；
由上面的分析可知，a＞0时，与题意不符；
当a＜0时，f（x）=ax²-2x的对称轴为x=

＜0，
若

≤-1，y=f（x）在[-1，2]为减函数，同理可得，a∈∅；
若

∈[-1，0]，则f（

）=2，解得：a=-

，f（x）=-

x²-2x，又f（-1）=

，f（2）=-6，不满足题意；
故a＜0时，也不符合题意；
综上所述，不存在a使得函数f（x）=ax²-2x的“保值区间”是[-1，2]．
对于（4），由于f（x）=x²-2x的对称轴为x=1，且f（1）=-1，f（-1）=f（3）=3，
所以f（x）=x²-2x的一个“保值区间”为[-1，3]，除此之外，没有其它的“保值区间”．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的单调性与闭区间上的最值，理解新定义“保值区间”解决问题的是关键，考查逻辑思维、创新思维、运算能力，属于难题．