题目内容
已知不平行于坐标轴的直线l与以原点O为中心的双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的两 及其两条渐近线从左到右依次交于A，B，C，D不同的四点，则下列一定成立的是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、|AD|=2|BC| | ||||||||
| B、|AB|=|BC|=|CD| | ||||||||
C、
| ||||||||
D、
|
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设l的方程为y=kx+m，分别设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），分别根据韦达定理求出并得到x1+x2=x3+x4，同理得到y1+y2=y3+y4，
根据向量的坐标运算得到
+
=
+
，故结论一定成立的选项即得到
根据向量的坐标运算得到
| OA |
| OD |
| OB |
| OC |
解答：
解：如图所示：
设l的方程为y=kx+m，代入双曲线方程并整理得：
（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2（m2+b2）=0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=
再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0 并整理得
（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2=0．
设B（x3，y3），C（x4，y4），则x3+x4=
∴x1+x2=x3+x4，
同理可得y1+y2=y3+y4，
∵
=（x1，y1），
=（x3，y3），
=（x4，y4），
=（x2，y2），
∴
+
=（x1+x2，y1+y2），
+
=（x3+x4，y3+y4）
∴
+
=
+
故选：C
解：如图所示：设l的方程为y=kx+m，代入双曲线方程并整理得：
（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2（m2+b2）=0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=
| 2a2km |
| b2-a2k2 |
再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0 并整理得
（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2=0．
设B（x3，y3），C（x4，y4），则x3+x4=
| 2a2km |
| b2-a2k2 |
∴x1+x2=x3+x4，
同理可得y1+y2=y3+y4，
∵
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
∴
| OA |
| OD |
| OB |
| OC |
∴
| OA |
| OD |
| OB |
| OC |
故选：C
点评：本题考查了直线和双曲线的关系，以及韦达定理，向量的坐标运算，属于中档题
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| A、12 | B、13 | C、14 | D、5 |