Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：当m∈R时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；
（2）设l与圆交于A、B两点，若|AB|=

17

，求l的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么？

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）由直线l与圆C交于A，B两点，AB为圆C的弦，根据垂径定理得到弦长的一半，圆的半径及弦心距d构成直角三角形，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出直线l的方程，进而求出直线l的倾斜角．
（3）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由K_AB•K_CM=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．

解答： 解：（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径

5

，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）∵R=

5

，d=

|m|

m2+1

，|AB|=

17

，
∴根据垂径定理及勾股定理得：

17

4

=5-

m2

m2+1

，
整理得：m²=3，解得：m=±

3

，
∴直线l的倾斜角为：60°或120°．
（3）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化简可得(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中点M的轨迹方程为(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．