Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，若|

OP

|＜

1

2

，则|

OA

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，可知：四边形AB₁PB₂是一个矩形．以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB₁|=a，|AB₂|=b．点O的坐标为（x，y），点P（a，b）．根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出．

解答： 解：根据

AB1

⊥

AB2

，

AP

=

AB1

+

AB2

，可知：四边形AB₁PB₂是一个矩形．
以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB₁|=a，|AB₂|=b．
点O的坐标为（x，y），点P（a，b）．
∵|

OB1

|=|

OB2

|=1，
∴

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

，
变形为

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

．
∵|

OP

|＜

1

2

，∴（x-a）²+（y-b）²＜

1

4

，
∴1-x²+1-y²

1

4

，
∴x²+y²＞

7

4

．①
∵（x-a）²+y²=1，∴y²≤1．
同理，x²≤1．
∴x²+y²≤2．②
由①②可知：

7

4

＜x²+y²≤2．
∵|

OA

|=

x2+y2

，
∴

7

2

＜|

OA|

≤

2

．
故答案为（

7

2

，

2

]．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．