题目内容

1．某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：
物理及格物理不及格合计
数学及格28836
数学不及格162036
合计442872
（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X-Y|，求ξ的分布列及数学期望．
附：x2=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{21}{n}_{12}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$．
P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010
k2.0722.7063.8416.635

分析 （1）根据题意，求出X2=$\frac{1800}{143}$≈12.587＞6.635，从而有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．
（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$，X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根据题意，得：
${x}^{2}=\frac{72（27×24-12×9）^{2}}{39×33×36×36}$=$\frac{1800}{143}$≈12.587，
∵12.587＞6.635，
∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．
（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$，
从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$，
X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，
ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）
=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$•${C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）•{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{19}{64}$，
P（ξ=1）=P（X=0）P（Y=1）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=1）+P（X=3）P（Y=2）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}•{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$•${C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$
+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}•{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{283}{576}$，
P（ξ=2）=P（X=0）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=3）P（Y=1）
=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）{C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{121}{576}$，
P（ξ=3）=P（X=3）P（Y=0）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{576}$，
∴ξ的分布列为：

 ξ 0 1 2 3
 P $\frac{19}{64}$ $\frac{283}{576}$ $\frac{121}{576}$ $\frac{1}{576}$
Eξ=$0×\frac{19}{576}+1×\frac{283}{576}+2×\frac{121}{576}$+3×$\frac{1}{576}$=$\frac{11}{12}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想，是中档题．

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