Question

已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线C上的一点，且的外接圆圆心到准线的距离为．

（I）求抛物线C的方程；
（II）若圆F的方程为，过点P作圆F的2条切线分别交轴于点，求面积的最小值时的值．

Answer 1

（I）；（II）.

试题分析：（I）先求圆心纵坐标，再由圆心到准线的距离，可求的值，从而得抛物线的方程；（II）先设过点斜率存在的直线方程，根据直线与圆相切，可得两切线的斜率关系，然后得两点坐标，可得，然后再求三角形PMN的面积，再利用导数判断面积的单调性而求最小值，再得的值.
试题解析：（I）的外接圆的圆心在直线OF，FP的中垂线交点上，且直线OF的中垂线为直线，则圆心的纵坐标为，                   1分
故到准线的距离为.         2分
从而p=2，即C的方程为.                  5分
（II）设过点P斜率存在的直线为，则点F(0，1)到直线的距离
。                7分
令d=1，则，所以。
设两条切线PM，PN的斜率分别为，则
，，             9分
且直线PM：，直线PN：，故，
因此  11分
所以              12分
设，则
令，则 .
在上单点递减，在上单调递增，因此
从而，此时．  15分