Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）参考解析

试题分析：（Ⅰ）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且经过点，利用待定系数法求出椭圆的方程.
（Ⅱ）由于直线交椭圆于不同的两点A，B.所以直线与椭圆方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，这个方程的的判别式要大于零即可求出m的范围.
（Ⅲ）直线不过点M，要求证直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.将该问题等价转化为直线MA与直线MB的斜率何为零.所以通过计算两直线的斜率，并用A,B的坐标表示，通过通分整理再结合（Ⅱ）所得的韦达定理即可得分子为零.及证明了斜率和为零从而可结论.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为 
(Ⅱ)将代入并整理得，，解得 
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明.设，，
则。