题目内容
函数lnx≤xem2-m-1对任意的正实数x恒成立，则m的取值范围是（ ）
| A、（-∞，0]∪[1，+∞） |
| B、[0，1] |
| C、[e，2e] |
| D、（-∞，e）∪[2e，+∞） |
考点：函数恒成立问题
专题：计算题,导数的综合应用
分析：lnx≤xem2-m-1可化为
≤em2-m-1，则问题等价于(
)max≤em2-m-1，令f（x）=
，（x＞0），利用导数可求得f（x）的最大值，再解指数不等式可得m的范围．
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
解答：
解：lnx≤xem2-m-1可化为
≤em2-m-1，
则问题等价于(
)max≤em2-m-1，
令f（x）=
，（x＞0），则f'（x）=
，
当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
故x=e时，f（x）取得极大值，也为最大值，f（e）=
，
∴
≤em2-m-1，则-1≤m2-m-1，解得m≤0或m≥1，
∴实数m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故选：A．
| lnx |
| x |
则问题等价于(
| lnx |
| x |
令f（x）=
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
故x=e时，f（x）取得极大值，也为最大值，f（e）=
| 1 |
| e |
∴
| 1 |
| e |
∴实数m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故选：A．
点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知a，b都是正实数，且满足log4（2a+b）=log2
，则2a+b的最小值为（ ）
| ab |
| A、12 | B、10 | C、8 | D、6 |
若ax2+ax+a+3＞0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| A、（ 0，+∞） |
| B、（-∞，-4）∪（0，+∞） |
| C、[0，+∞） |
| D、（-∞，0] |