Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，-4），顶点B在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$上，则$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值

解答 解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，-4），顶点B在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c
∵由正弦定理知$\frac{sinB}{sinA+sinC}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，∴则$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．