Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为4，焦距为2．
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为4，焦距为2．可得a，b；
（2）过F₁倾斜角为45°的直线l：y=x+1．
把y=x+1．代入圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．得7x²+8x-8=0，
由韦达定理及弦长公式可计算AB．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短轴长为4，焦距为2．∴b=2，c=1，a=$\sqrt{5}$，
椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由（1）得椭圆C的左焦点F₁（-1，0），过F₁倾斜角为45°的直线l：y=x+1．
把y=x+1．代入圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．得9x²+10x-15=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{10}{9}$，x₁x₂=-$\frac{15}{9}$，
AB=$\sqrt{1+{1}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{9}$

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，及弦长公式，属于基础题．