Question

20．已知双曲线的一个焦点为$（{2\sqrt{5}，0}）$，且渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2$\sqrt{5}$，可以设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，结合题意可得²+b²=20，①以及$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，②，联立两个式解可得a²=16，b²=4，代入所设的标准方程中即可得答案．

解答 解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为$（{2\sqrt{5}，0}）$，则其焦点在x轴上，且c=2$\sqrt{5}$，
可以设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又由c=2$\sqrt{5}$，则a²+b²=20，①
其渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则有$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，②
联立①、②可得：a²=16，b²=4，
故要求双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程的计算，可以用待定系数法分析．