Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，圆（x-1）²+y²=4被双曲线的一条渐近线截得的弦长为

15

，则此双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2 3

  3

• C、2
• D、

  3 3

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为

1

2

，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx-ay=0，
∵弦长为

15

，圆的半径为2，
由弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，
则圆心到渐近线的距离d=

22-( 15 2 )2

=

1

2

，
即

|b|

a2+b2

=

1

2

，即a²=3b²，
∴c²=b²+a²=4b²=

4

3

a²，
∴双曲线的离心率为e²=

4

3

，
∴双曲线的离心率为e=

2 3

3

．
故选：B

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆中弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，求得圆心到渐近线的距离．