Question

已知在△ABC中，C=

π

3

，

m

=（3a，b），

n

=（a，-

b

3

），

m

⊥

n

，（

m

+

n

）（-

m

+

n

）=-16，求a、b、c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：运用向量垂直的条件，即为数量积为0，及向量的平方即为模的平方，求得a，b，再由余弦定理，即可得到c．

解答： 解：由于

m

=（3a，b），

n

=（a，-

b

3

），

m

⊥

n

，
则

m

•

n

=3a²-

b2

3

=0，即有b=3a，
由于（

m

+

n

）•（-

m

+

n

）=-16，
则

n

2-

m

2=a²+

b2

9

-9a²-b²=-16，
即为a²+

b2

9

=2，
解得，a=1，b=3，
△ABC中，C=

π

3

，
则有余弦定理，可得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

=1+9-2×1×3×

1

2

=7，
即有c=

7

．
则a=1，b=3，c=

7

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．