题目内容
P是双曲线
-y2=1上一点，M，N为双曲线的两个焦点．
（1）当∠MPN=
时，求△MPN的面积；
（2）当∠MPN为锐角时，求P的横坐标xp的范围．
| x2 |
| 8 |
（1）当∠MPN=
| π |
| 3 |
（2）当∠MPN为锐角时，求P的横坐标xp的范围．
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）运用双曲线的定义和余弦定理及面积公式，即可求得；
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠MPN是锐角推断出PM2+PN2＞MN2，代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得xp的范围．
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠MPN是锐角推断出PM2+PN2＞MN2，代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得xp的范围．
解答：
（1）解：∵双曲线的标准方程为：
-y2=1，
∴a=2
，b=1，c=3．
又∵P为双曲线上一点，∠MPN=
，M，N为双曲线的两个焦点，
∴||PM|-|PN||=2a=4
，|MN|=6，
∴|MN|2=（|PM|-|PN|）2+2|PM||PN|-2|PM|•|PN|cos
，
=32+|PM|•|PN|=36，
∴|PM|•|PN|=4．
∴S△MPN=
|PM|•|PN|sin
=
；
（2）设p（x，y），则 M（-3，0），N（3，0），
且∠MPN是钝角，PM2+PN2＞MN2，即（x+3）2+y2+（x-3）2+y2＞36，
即x2+y2＞9，即x2+（
-1）＞9，
即x2＞
．
即x＜-
，或x＞
．
故点P的横坐标xp的取值范围为（-∞，-
）∪（
，+∞）
| x2 |
| 8 |
∴a=2
| 2 |
又∵P为双曲线上一点，∠MPN=
| π |
| 3 |
∴||PM|-|PN||=2a=4
| 2 |
∴|MN|2=（|PM|-|PN|）2+2|PM||PN|-2|PM|•|PN|cos
| π |
| 3 |
=32+|PM|•|PN|=36，
∴|PM|•|PN|=4．
∴S△MPN=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）设p（x，y），则 M（-3，0），N（3，0），
且∠MPN是钝角，PM2+PN2＞MN2，即（x+3）2+y2+（x-3）2+y2＞36，
即x2+y2＞9，即x2+（
| x2 |
| 8 |
即x2＞
| 80 |
| 9 |
即x＜-
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
故点P的横坐标xp的取值范围为（-∞，-
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了双曲线的定义和方程及简单性质和解不等式，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
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已知双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)，圆（x-1）2+y2=4被双曲线的一条渐近线截得的弦长为
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 15 |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、2 | ||||
D、
|
已知任意向量
，
及实数λ，那么“λ
+
=0”成立是“
∥
”成立的（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、充分非必要条件 |
| B、必要非充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、非充分必要条件 |
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