Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

an

3-2an

，a₁=

1

4

．
（1）b_n=

1

an

-1（n∈N^*）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求满足a_n+a_n+1+…+a_2n-1＜

1

150

的最小正整数m的值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系求出b_n=

1

an

-1（n∈N^*）求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用放缩法即可得到结论．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

3-2an

得

1

an+1

=

3

an

-2，
∴

1

an+1

-1=3（

1

an

-1）．
∴数列{

1

an

-1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴b_n=

1

an

-1=3•3^n-1=3ⁿ，…（4分）
∴a_n=

1

3n+1

            …（6分），
（2）由（1）知a_m+a_m+1+…+a_2m-1=

1

3m+1

+

1

3m+1+1

+…+

1

32m-1+1

＜

1

3m

+

1

3m+1

+…+

1

32m-1

=

1

3m

•

1- 1 3m

1- 1 3

=

1

2•3m-1

(1-

1

3m

)＜

1

2•3m-1

，
令

1

2•3m-1

≤

1

150

，解得m≥5，
故所求m的最小值为5．…（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和不等式的关系，考查学生的推理能力．