Question

7．设P是圆x²+y²=4上的任意一点，点D是点P在x轴上的投影，动点M满足$\sqrt{3}$$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点F（-1，0），若直线y=kx+m与轨迹E相切于点Q，且与直线x=-4相交于点R，求证：以QR为直径的圆经过定点F．

Answer 1

分析 （1）求出M，P坐标之间的关系，利用代入法求动点M的轨迹E的方程；
（2）证明$\overrightarrow{QF}$•$\overrightarrow{RF}$=0，即可证明结论．

解答 （1）解：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），
由已知得x_P=x，y_P=$\frac{2}{\sqrt{3}}$y，
∵点P在圆上，∴x²+（$\frac{2}{\sqrt{3}}$y）²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（4分）
（2）证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
如图，设点Q的坐标为（x₀，y₀），依题意m≠0，
由△=0可得4k²+3=m²，（6分）
此时x₀=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，
∴Q（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=-4}\end{array}\right.$解得y=-4k+m，∴R（-4，-4k+m） （9分）
由F（-1，0），$\overrightarrow{QF}$=（$\frac{4k}{m}$-1，-$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{RF}$=（3，4k-m）
∴$\overrightarrow{QF}$•$\overrightarrow{RF}$=3（$\frac{4k}{m}$-1）-$\frac{3}{m}$•（4k-m）=0，
∴QF⊥RF．
∴以QR为直径的圆过定点F．（12分）

点评 本题考查了圆锥曲线的定义与性质及向量的应用，属于中档题．