Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足，a₁=1，a₂=2，a_n＞0，b_n=

anan+1

（n∈N⁺），且{b_n}是以q为公比的等比数列
（1）求，a_n+2=a_nq²
（2）设c_n=a_2n-1+2a_2n，试判断数列{c_n}是否为等比数列，说明理由
（3）求和，S_2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由{b_n}是以q为公比的等比数列结合b_n=

anan+1

加以证明；
（2）由a_n+2=a_nq²分别写出a_2n-1、2a_2n，得到c_n=a_2n-1+2a_2n后即可判断数列{c_n}是等比数列；
（3）由（2）求得

1

a2n-1

=

1

a1

q2-2n，

1

a2n

=

1

a2

q2-2n，代入S_2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．

解答： （1）证明：由

bn+1

bn

=q，有

an+1an+2

anan+1

=

an+2 an

=q，∴a_n+2=a_nq²（n∈N⁺）；
（2）解：{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．
证明：∵a_n=q_n-2q²，
∴a_2n-1=a_2n-3q²=…=a₁q^2n-2，
a_2n=a_2n-2q²=…=a₂q^n-2，
∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．
∴{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列；
（3）解：由（2）得

1

a2n-1

=

1

a1

q2-2n，

1

a2n

=

1

a2

q2-2n，
于是S_2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

)
=

1

a1

(1+

1

q2

+…+

1

q2n-2

)+

1

a2

(1+

1

q2

+…+

1

q2n-2

)
=

3

2

(1+

1

q2

+…+

1

q2n-2

)．
当q=1时，S_2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+…+

1

q2n-2

)=

3

2

n；
当q≠1时，S_2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+…+

1

q2n-2

)=

3

2

(

1-q-2n

1-q-2

)=

3

2

[

q2n-1

q2n-2(q2-1)

]．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．