Question

19．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx在区间（-2，1）内x=-1时取极小值，$x=\frac{2}{3}$时取极大值．
（1）求函数y=f（x）在x=-2处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-2，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-3x²+2ax+b．由题意知-1，$\frac{2}{3}$为方程-3x²+2ax+b=0的两个根，求出a=-$\frac{1}{2}$，b=2，从而f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x．由此利用导数的几何意义能求出函数y=f（x）在x=-2处的切线方程．
（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况进行列表，由此能求出f（x）在[-2，1]上的最大值，最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-x³+ax²+bx，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b．
又x=-1，x=$\frac{2}{3}$分别对应函数取得极小值、极大值，
∴-1，$\frac{2}{3}$为方程-3x²+2ax+b=0的两个根．
∴$\frac{2}{3}$a=-1+$\frac{2}{3}$，-$\frac{b}{3}$=（-1）×$\frac{2}{3}$．解得a=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x．
当x=-2时，f（-2）=2，即（-2，2）在曲线上．
又切线斜率为k=f′（-2）=-8，
故所求切线方程为y-2=-8（x+2），即为8x+y+14=0．
（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↓	-$\frac{3}{2}$	↑	$\frac{22}{27}$	↓	$\frac{1}{2}$

∴f（x）在[-2，1]上的最大值为2，最小值为-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的最大值、最小值的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．