Question

11．已知复数z=$\frac{i+{i}^{2}+{i}^{3}+{i}^{4}+…+{i}^{2017}}{2+i}$，则复数z的共轭复数$\overline{z}$在复平面内对应的点位于（　　）

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 根据虚数单位i的性质：当n∈N时，i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，计算分子，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数$\overline{z}$，再求出复数z的共轭复数$\overline{z}$在复平面内对应的点的坐标得答案．

解答 解：根据虚数单位i的性质：当n∈N时，i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，
i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁷=（i+i²+i³+i⁴）+…+（i²⁰¹³+i²⁰¹⁴+i²⁰¹⁵+i²⁰¹⁶）+i²⁰¹⁷
=0+…0+i=i，
z=$\frac{i+{i}^{2}+{i}^{3}+{i}^{4}+…+{i}^{2017}}{2+i}$=$\frac{i}{2+i}=\frac{i（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{1+2i}{5}$，
∴复数z的共轭复数$\overline{z}$=$\frac{1-2i}{5}$．
则复数z的共轭复数$\overline{z}$在复平面内对应的点的坐标为：（$\frac{1}{5}$，$-\frac{2}{5}$），位于第四象限．
故选：D．

点评 本题考查虚数单位i的性质，考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．