Question

已知f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，f（8）=3，f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先利用条件求出f（8）=3，不等式转化为f（x（x-2））≤f（8），再利用函数的定义域和单调性来解出不等式的解集．

解答： 解：∵f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，f（2）=1，
∴f（4）=2，f（8）=f（4×2）=3，
 又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（x-2）≤3 即 f（x（x-2））≤f（8），
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

，
∴2＜x≤4，
故不等式的解集是 （2，4]，
故答案为：（2，4]

点评：本题考查抽象函数及其应用，利用题中的两个条件把不等式进行转化，再利用定义域及单调性来解，属于中档题