Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|-

1

2

＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a使得A∪B=A∩B？若存在，求出a的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：子集与交集、并集运算的转换

专题：计算题,集合

分析：A中不等式的解应该分三种情况讨论确定：①当a=0时，A=R；②当a＜0时，A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}；③若a＞0，则A=A={x|-

1

a

≤x≤

4

a

}．
（1）由A⊆B讨论集合A可得；
（2）由A∩B=B知B⊆A，做法与（1）相同；
（3）由A∪B=A∩B得A=B，即（1）（2）同时满足，可得a．

解答： 解：（1）若a＜0，若A⊆B，则

4 a ＞- 1 2 - 1 a ≤2

⇒a＜-8
若a＞0，若A⊆B，则

4 a ≤2 - 1 a ≥- 1 2

⇒a≥2
故由A⊆B得，a的取值范围是{a|a＜-8，或a≥2}．
（2）由A∩B=B知：B⊆A，
当a=0时，显然B⊆A；
当a＜0时，若B⊆A，则

4 a ≤- 1 2 - 1 a ＞2

⇒-

1

2

＜a＜0，
当a＞0时，若B⊆A，则

4 a ≥2 - 1 a ＜- 1 2

⇒0＜a≤2，
若A∩B=B，则实数a的取值范围是{a|-

1

2

＜a≤2}
（3）由A∪B=A∩B得：A=B，
即A⊆B，B⊆A，
结合（1）、（2）知：a=2．

点评：本题考查了分类讨论的数学思想，注意分类的标准，同时考查了集合的化简与集合之间包含关系的应用，属于中档题．