Question

如下一列数：

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n(n+1)

，…其中前n个数的和记作s_n，计算s₁，s₂，s₃，s₄的值，观察这些计算结果存在的规律，推测出计算s_n的公式，并用数学归纳法作出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：等差数列与等比数列

分析：直接利用已知条件求出s₁，s₂，s₃，s₄的值，观察计算结果的规律，推测出计算s_n的公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答： 解：s1=

1

2

，s2=

2

3

，s3=

3

4

，s4=

4

5

，sn=

n

n+1

以下用数学归纳法证明：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

=

n

n+1

当n=1时，左=右=

1

2

假设当n=k时，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

k(k+1)

=

k

k+1

成立
假设当n=k+1时，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

，
这就是说n=k+1时，猜想也成立．
对任意自然数正数n，sn=

n

n+1

都成立．

点评：本题考查归纳推理，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．