Question

18．已知：二项式${（1+\sqrt{2}x）^n}$展开式中所有项的 二项式系数和为64，
（1）求n的值；
（2）若展开式所有项的 系数和为$a+b\sqrt{2}$，其中a，b为有理数，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，2ⁿ=64，解得即可，
（2）方法一：求出通项公式，即可求出a，b，
方法二：赋值法，令x=1时求出a+b$\sqrt{2}$=99+70$\sqrt{2}$，问题得以解决

解答 解：（1）由题意，2ⁿ=64，n=6
（2）展开式的通项为${T_{r+1}}=C_6^r{（\sqrt{2}x）^r}=C_6^r{2^{\frac{r}{2}}}{x^r}$（r=0，1，2，…，6）．
则$a=C_6^0+2C_6^2+4C_6^4+8C_6^6=99$，
$b=C_6^1+2C_6^3+4C_6^5=70$
方法二令x=1，则${（1+\sqrt{2}）^6}=a+b\sqrt{2}$，
因为${（1+\sqrt{2}）^6}={[{（1+\sqrt{2}）^2}]^3}={（3+2\sqrt{2}）^3}=37+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}=99+70\sqrt{2}$
故，a=99，b=70．

点评 本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．