Question

已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于

1

4

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：假设三式同时大于

1

4

，即(1-a)b＞

1

4

，(1-b)c＞

1

4

，(1-c)a＞

1

4

，让三个等式左边右边分别相乘得到(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞

1

64

，结合基本不等式可以判断错误，故假设不成立，即得证．

解答： 证明：假设三式同时大于

1

4

，即(1-a)b＞

1

4

，(1-b)c＞

1

4

，(1-c)a＞

1

4

…2分
三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞

1

64

（*）…5分
又(1-a)a≤(

1-a+a

2

)2=

1

4

，…7分
同理(1-b)b≤

1

4

，(1-c)c≤

1

4

…9分
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

1

64

，…11分
与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确…12分

点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键．