Question

7．经过直线2x-y+3=0与圆x²+y²+2x-4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是5x²+5y²+6x-18y-1=0．

Answer 1

分析 题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可．

解答 解：∵圆x²+y²+2x-4y+1=0的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圆心坐标为（-1，2），半径为r=2；
∴圆心到直线2x-y+3=0的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
设直线2x-y+3=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点为A，B．则|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$．
∴过点A，B的最小圆半径为$\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}2x-y+3=0\\{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y+1=0\end{array}\right.$得5x²+6x-2=0，
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6}{5}$，则圆心的横坐标为：$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+{x}_{2}）=-\frac{3}{5}$，纵坐标为2×（-$\frac{3}{5}$）+3=$\frac{9}{5}$，
∴最小圆的圆心为（$-\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴最小圆的方程为（x+$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{9}{5}$）²=$\frac{19}{5}$．
即5x²+5y²+6x-18y-1=0．
故答案为：5x²+5y²+6x-18y-1=0

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的面积最小就是圆的半径最小，求出圆心坐标，求出半径即可求出圆的方程，是这一类问题的基本方法．