Question

13．某家具厂生产一种课桌，每张课桌的成本为50元，出厂单价定为80元，该厂为鼓励销售商多订购，决定一次订购量超过100张时，每超过一张，这批订购的全部课桌出厂单价降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过1000张．
（Ⅰ）设一次订购量为x张，课桌的实际出厂单价为P元，求P关于x的函数关系式P（x）；
（Ⅱ）当一次订购量x为多少时，该家具厂这次销售课桌所获得的利润f（x）最大？其最大利润是多少元？（家具厂售出一张课桌的利润=实际出厂单价-成本）．

Answer 1

分析 （1）当0＜x≤100时，P=80；当100＜x≤1000时，P=80-0.02（x-100），由此可得分段函数；
（2）利用工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本，即可求出当销售商一次订购了800个零件时，该厂获得的利润．

解答 解：（Ⅰ）根据题意得：P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{80，}&{0＜x≤100，x∈N}\\{80-0.02（x-100），}&{100＜x≤1000，x∈N}\end{array}\right.$；（4分）
即P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{80，}&{0＜x≤100，x∈N}\\{82-0.02x，}&{100＜x≤1000，x∈N}\end{array}\right.$  （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（80-50）x，}&{0＜x≤100，x∈N}\\{（82-0.02x-50）x，}&{100＜x≤1000，x∈N}\end{array}\right.$  （7分）
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{30x，}&{0＜x≤100，x∈N}\\{32x-0.02{x}^{2}，}&{100＜x≤1000．x∈N}\end{array}\right.$    （8分）
（ⅰ）当0＜x≤100，
则x=100时，f（x）_max=f（100）=3000                  （9分）
（ⅱ）当100＜x≤1000，
则x=800时，f（x）_max=f（800）=32×800-0.02×800²=12800        （11分）
∵12800＞3000，
∴x=800时，f（x）有最大值，其最大值为12800元．
答：当一次订购量为800张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是12800元．（12分）

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立分段函数是解决本题的关键．考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．