题目内容
11．已知函数f（x）=（x-a）2+（ex-a）2（a∈R），若存在x0∈R，使得f（x0）≤$\frac{1}{2}$成立，则实数a的值为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 把函数看作是动点M（x，ex）与动点N（a，a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=ex上与直线y=x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{1}{2}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．
解答 解：函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（a，a）之间距离的平方，
动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=ex得，y′=ex=1，解得x=0，
∴曲线上点M（0，1）到直线y=x的距离最小，最小距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则f（x）≥$\frac{1}{2}$，
根据题意，要使f（x0）≤$\frac{1}{2}$，则f（x0）=$\frac{1}{2}$，此时N恰好为垂足，
由kMN=$\frac{a-1}{a}$=-1，解得a=$\frac{1}{2}$．
故选：D．
点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
练习册系列答案
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1．已知角α的终边经过点P（sin$\frac{5π}{6}$，cos$\frac{5π}{6}$），则角a可能是（ ）
| A． | -$\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{6}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
16．若实数x，y满足$\sqrt{{x}^{2}+（y-13）^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+（y+13）^{2}}$=10，则动点P（x，y）的轨迹方程是（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{144}$=1（x＞0） | B． | $\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{144}$=1（x＜0） | ||
| C． | $\frac{{y}^{2}}{25}$-$\frac{{x}^{2}}{144}$=1（y＞0） | D． | $\frac{{y}^{2}}{25}$-$\frac{{x}^{2}}{144}$=1（y＜0） |
14．
为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：
（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：
（2）若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；
（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．
为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [0，30） | 3 | 0.03 |
| [30，60） | 3 | 0.03 |
| [60，90） | 37 | 0.37 |
| [90，120） | m | n |
| [120，150） | 15 | 0.15 |
| 合计 | M | N |
（3）为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．