Question

已知f（x）=

ex (x≥0) -2x(x＜0)

，则关于x的方程f[f（x）]+k=0有四个结论：
①存在实数k，使方程没有实根
②存在实数k，使方程恰有1个实根
③存在实数k，使方程恰有2个实根
④存在实数k，使方程恰有3个实根
则正确结论的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由解析式判断出f（x）＞0，再求出f[f（x）]的解析式，根据方程根的几何意义，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假．

解答： 解：当x≥0时 f（x）=e^x＞0，当x＜0时，f（x）=-2x＞0，
所以 当x≥0时，f[f（x）]=f[e^x]=eex，
当x＜0时，f[f（x）]=f[-2x]=e^-2x，
当x≥0时，f[f（x）]+k=0得到方程eex+k=0，合并x≥0可以得出，当k≤-e时有一根，
当x＜0时，f[f（x）]+k=0得到方程e^-2x+k=0，合并x＜0可以得出，当k＜-1时有一根，
显然当k≥-1时，方程无根，
当-e＜k＜-1时，方程可以有一个负根，
当k≤-e时，方程有两个不相等的根：一个＞=0，一个＜0，
所以①②③正确，
故正确的个数是3个．
故选：D

点评：本题考查了命题的真假判断，以及方程根的根数问题，涉及到了分段函数求值，指数函数的图象及性质应用，考查了学生作图能力和转化思想．