Question

设关于x的一元二次方程ax²-2bx+a=0（a，b∈R）
（Ⅰ）若a是集合{1，2，3}中任取一个元素，b是从集合{1，2，3}中任取一个元素，求上述方程有两个不相等实数根的概率．
（Ⅱ）若a是从区间（0，3）任取的一个实数，b是从区间（0，2）任取的一个实数，求上述方程没有实数根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）为古典概型，只需列举出所有的基本事件和符合条件的基本事件，作比值即可；
（Ⅱ）为几何概型，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a为取集合{1，2，3}中任一个元素，b为取集合{1，2，3}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为：9．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a＞0，b＞0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为：a＞2b．
当a＞2b时，a，b取值的情况有（3，1），即A包含的基本事件数为：1，
∴方程有两个不相等实数根的概率

1

9

．
（Ⅱ）若a从区间（0，3）中任取一个数，b从区间（0，2）中任取一个数，
则0＜a＜3且0＜b＜2，对应的区域为矩形，面积S=3×2=6，
方程f（x）=0没有实根，则△=4b²-4a²＜0，即b²＜a²，∴b＜a，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则B（2，2），C（3，2），D（3，0），
则题型BCDO的面积S=

1+3

2

×2=4
则由几何概型的概率公式可得方程f（x）=0没有实根

2

3

．

点评：本题主要考查概率的计算，根据古典关系和几何概型的概率公式是解决本题的关键．