Question

已知函数f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=

3

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的单调性，由不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可求得f（x）的单调增区间；
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1⇒sin（2A+

π

6

）=

1

2

，A∈（0，π），即可求得A的值，再结合正弦定理可求得B的值，从而可得角C．

解答： 解：f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）  
（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z． 

（2）f（A）=1⇒2sin（2A+

π

6

）=1⇒sin（2A+

π

6

）=

1

2

．
∵A∈（0，π），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

，
由正弦定理得sinB=

bsinA

a

=

3 × 3 2

3

=

1

2

．
又b＜a，
∴B∈（0，

π

2

），
∴B=

π

6

． 
故C=π-

π

3

-

π

6

=

π

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与特殊角的三角函数值，考查正弦定理的应用，属于中档题．