Question

直线l_n：y=x-

2n

与圆C_n：x²+y²=2a_n+n+2交于不同的两点A_n、B_n，n∈N^*．数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1

4

|A_nB_n|²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

2n-1 (n为奇数) an (n为偶数)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据直线与圆相交及勾股定理可得数列{a_n}的递推公式，通过构造等比数列可得等比数列的通项公式，进而可得{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得{b_n}的通项公式，分n为奇数、偶数两种情况分类讨论，利用分组求和法可得答案；

解答： 解：（1）由题意可得，(

|- 2n |

2

)2+(

1

2

|AnBn|)2=2a_n+n+2，即n+a_n+1=2a_n+n+2，
所以a_n+1+2=2（a_n+2），
又a₁+2=3，所以{a_n+2}为等比数列，公比为2，首项为3，
所以a_n+2=3•2^n-1，即a_n=3•2^n-1-2；
（2）bn=

2n-1，(n为奇数) 3•2n-1-2，(n为偶数)

，
当n=2k-1（k∈N₊）时，
T_n=1+3•2¹-2+5+3•2³-2+9+…=（1+5+9+…）+3（2+2³+…）-2（2k-1）
=k+

k(k-1)

2

•4+3•

2(1-4k-1)

1-4

-2（2k-1）
=2k²-5k+2•4^k-1=

1

2

n2-

3

2

n-2+2n；
当n=2k（k∈N₊）时，
T_n=1+3•2¹-2+5+3•2³-2+9+…=（1+5+9+…）+3（2+2³+…）-2•2k
=k+

k(k-1)

2

•4+3•

2(1-4k)

1-4

-4k
=2k²-5k-2+2^2k+1=

1

2

n2-

5

2

n-2+2n+1；
综上，Tn=

1 2 n2- 3 2 n-2+2n，n为奇数 1 2 n2- 5 2 n-2+2n+1，n为偶数

．

点评：本题考查数列与解析几何的综合、数列求和等知识，考查等差、等比数列的求和公式，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．