Question

在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB=AC=1，AD=2，E、F分别是BC、BD的中点．
（1）求证：BC⊥面AED；
（2）求A到面BCD的距离；
（3）求二面角C-AE-F的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由于E是BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AE⊥BC．再利用三垂线定理可得BC⊥DE．利用线面垂直的判定定理就看得出．
（2）利用“等积变形”即可得出；
（3）通过建立空间直角坐标系，利用两角平面的法向量的夹角公式即可得出二面角的平面角．

解答： （1）证明：∵AB=AC=1，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC=A．
∴AD⊥平面ABC．
∴BC⊥DE．
∵AE∩DE=E，∴BC⊥面AED．
（2）∵VA-BCD=

1

3

×

1

2

×1×2=

1

3

，S△BCD=

1

2

BC×DE=

2

2

×

5- 1 2

=

3

2

，
设A到面BCD的距离为h，∴

1

3

S△BCD•h=

1

3

．解得h=

2

3

．
∴h=

2

3

．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），E(

1

2

，

1

2

，0)，F(

1

2

，0，1)．
则

AF

=(

1

2

，0，1)，

AE

=(

1

2

，

1

2

，0)．
设平面AEF的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n AF = 1 2 x+z=0 n • AE = 1 2 x+ 1 2 y=0

，令z=-1，解得x=2，y=-2．
∴

n

=(2，-2，-1)．
可取平面ACE的法向量为

m

=(0，0，1)．则cos＜

m

，

n

＞=

n • m

| n | | m |

=

-1

9 ×1

=-

1

3

．
从图中看到：二面角C-AE-F的平面角是钝角，
∴二面角C-AE-F的大小为π-arccos

1

3

．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质、三垂线定理、线面垂直的判定定理、“等积变形”、通过建立空间直角坐标系，利用两角平面的法向量的夹角公式求出二面角的平面角等是解题的关键．