Question

已知椭圆与双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦点相同，且它们的离心率之和等于

14

5

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点M（1，1）作一条弦AB，使该弦被点M平分，求弦AB所在直线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出弦AB的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦点为（0，4），（0，-4），
离心率为

4

2

=2，
则椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
且离心率e=

c

a

=

14

5

-2=

4

5

，
由于c=4，则a=5，b=

a2-b2

=3，
则椭圆方程为

y2

25

+

x2

9

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y12

25

+

x12

9

=1，

y22

25

+

x22

9

=1，
两式相减可得，

(y1-y2)(y1+y2)

25

+

(x1-x2)(x1+x2)

9

=0，
即有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

25

9

，
则直线AB所在方程为y-1=-

25

9

（x-1），
由于M在椭圆内，则弦AB存在．
则所求直线AB的方程为25x+9y-34=0．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查中点坐标公式和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．