题目内容

如图，△ABC中，
AC
•
BC
=0，
CD
=
1
2
（
CA
+
CB
），又|
AC
|=3，|
BC
|=4，则向量
AC
与
CD
夹角的余弦值为（　　）
A、
3
5
B、
4
5
C、-
3
5
D、-
4
5
考点：数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：由题意可建立坐标系，由坐标法计算可得．
解答： 解：∵
AC
•
BC
=0，∴
AC
⊥
BC
，
∵
CD
=
1
2
（
CA
+
CB
），∴D为AB中点，
建立如图所示的坐标系，
结合|
AC
|=3，|
BC
|=4可得A（3，0），B（0，4）
由中点坐标公式可得D（
3
2
，2），
∴
AC
=（-3，0），
CD
=（
3
2
，2），
∴cos＜
AC
，
CD
＞=
AC
•
CD
|
AC
||
CD
|
=
-
9
2
3×
5
2
=-
3
5

故选：C
点评：本题考查平面向量的夹角，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
i是虚数单位，
i
1+i
的虚部等于（　　）
A、0
B、-
1
2
C、1
D、
1
2
已知点A（3，
3
），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足
3
x-y≤0
x-
3
y+2≥0
y≥0
，设z为
OA
在
OP
上的投影，则z的取值范围是（　　）
A、[-3，3]
B、[-
3
，
3
]
C、[-
3
，3]
D、[-3，
3
]
M是双曲线
x2
6
-
y2
3
=1左支上的一点，F2是右焦点，MF2的中点为N，若|ON|=
6
2
（O为坐标原点），则M到右准线的距离是（　　）
A、3
B、6
C、
3
D、
6
点P（2，1）为圆
 x=1+5cosθ
y=5sinθ
的弦的中点，则该弦所在的直线方程是（　　）
A、x+y-3=0
B、x+2y=0
C、x+y-1=0
D、2x-y-5=0
 已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=
6
．点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点．
（1）证明：FB⊥平面AEC；
（2）求二面角F-AE-C的余弦值．
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：
①求
EF
和点G的坐标；
②求异面直线EF与AD所成的角；
③求点C到截面AEFG的距离．
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足|
PA
|+|
PB
|为常数．
（1）建立适当的坐标系，并求出曲线E的方程．
（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，且M点在D，N之间，若|
DM
|=λ|
DN
|，求λ的取值范围．
已知t∈R，设函数f（x）=x3-
3(t+1)
2
x2+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最值，求t的取值范围；
（Ⅲ）当t=1时，若f（x）≤xex-5x2+5x-m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范围．

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