Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，D是线段AB的垂直平分线上的一点，D到AB的距离为2，过C的曲线E上任一点P满足|

PA

|+|

PB

|为常数．
（1）建立适当的坐标系，并求出曲线E的方程．
（2）过点D的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，且M点在D，N之间，若|

DM

|=λ|

DN

|，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，根据|

PA

|+|

PB

|=|CA|+|CB|=

2

2

+

3 2

2

=2

2

＞2=|AB|，判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁+x₂的表达式，将x₁=λx₂代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．

解答： 解：（1）设AB的中点为O．以AB，OD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则由已知得：|

PA

|+|

PB

|=|CA|+|CB|=

2

2

+

3 2

2

=2

2

＞2=|AB|，
∴动点的轨迹方程为以A，B为焦点的椭圆，并且a=

2

，c=1，b=1，
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）当直线l与y轴重合时，DM=1，DN=3，λ=

DM

DN

=

1

3

…（5分）
当直线l与y轴不重合时，∵D（0，2），∴可令直线MN的方程为y=kx+2．
与曲线E的方程联立得（1+2k²）x²+8kx+6=0．
由△=64k²-24（1+2k²）＞0，得k2＞

3

2

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

＞0，∴x₁与x₂同号．…（7分）
∵M点在D，N之间，且|

DM

|=λ|

DN

|，∴

DM

与

DN

同方向，λ＞0，
∴λ=

DM

DN

=

xM-xD

xN-xD

=

x1

x2

．
∵λ+

1

λ

=

x1

x2

+

x2

x1

=

(x1+x2)2

x1x2

-2=

20k2-6

3(1+2k2)

=

10

3

-

16

3(2k2+1)

…（9分）
∵k2＞

3

2

，∴2k²+1＞4．
∴0＜

16

3(2k2+1)

＜

4

3

，
∴2＜

10

3

-

16

3(2k2+1)

＜

10

3

．…（10分）
∴2＜λ+

1

λ

＜

10

3

⇒

λ+ 1 λ ＞2 λ+ 1 λ ＜ 10 3

⇒

(λ-1)2＞0 3λ2-10λ+3＜0

⇒

λ≠1 1 3 ＜λ＜3

⇒

1

3

＜λ＜3且λ≠1．
∵M点在D，N之间，∴0＜λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．…（11分）
综上可得λ的取值范围是

1

3

≤λ＜1．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，是高考题常考的类型．