Question

已知点A（3，

3

），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，设z为

OA

在

OP

上的投影，则z的取值范围是（　　）

• A、[-3，3]
• B、[-

  3

  ，

  3

  ]
• C、[-

  3

  ，3]
• D、[-3，

  3

  ]

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义转化为向量夹角问题即可得到结论．

解答： 解：∵z为

OA

在

OP

上的投影，
∴z=

OA • OP

| OP |

=

| OA || OP |cosθ

| OP |

=|OA|cosθ=2

3

cosθ，（θ为向量为

OA

与

OP

的夹角），
由图象可知当P在直线OB上时，此时θ最小，
当P在直线OC上时，此时θ最大，
∵A（3，

3

），∴OA的倾斜角为30°，OB的倾斜角为60°，
则θ最小值为60°-30°=30°，θ最大值为180°-30°=150°，
即30°≤θ≤150°，则-

3

2

≤cosθ≤

3

2

，
则-3≤2

3

cosθ≤3，
故z∈[-3，3]，
故选：A

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．