Question

 已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

6

．点F，E分别是边A₁C₁和侧棱BB₁的中点．
（1）证明：FB⊥平面AEC；
（2）求二面角F-AE-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC的中点O，连接OF，OB，以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，证明FB⊥AE，FB⊥AC，即可证明FB⊥平面AEC；
（2）求出平面AEF的法向量、平面AEC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-AE-C的余弦值．

解答： （1）证明：取AC的中点O，连接OF，OB，则有A₁A∥FO，故FO⊥平面ABC，
在正三角形ABC中，O是AC的中点，故OB⊥AC，OA=OC=1，OB=

3

，
如图，以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），E（0，

3

，

6

2

），F（0，0，

6

），
∴

FB

=（0，

3

，-

6

），

AE

=（-1，

3

，

6

2

），

AC

=（-2，0，0），

AF

=（-1，0，

6

），
∵

FB

•

AE

=（0，

3

，-

6

）•（-1，

3

，

6

2

）=0，
∴

FB

⊥

AE

，即FB⊥AE，
又∵

FB

•

AC

=（0，

3

，-

6

）•（-2，0，0），
∴

FB

⊥

AC

，即FB⊥AC，
而AE∩AC=A，∴FB⊥平面ABC；   …（6分）
（2）解：设平面AEF的法向量为

n

=（a，b，c），
则

-a+ 3 b+ 6 2 c=0 -a+ 6 c=0

，令c=

6

，则a=6，b=

3

，
即

n

=（6，

3

，

6

），由（1）知平面AEC的一个法向量为

FB

，
设二面角F-AE-C的平面角为θ，易知0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=|

FB •n

| FB ||n|

|=

5

15

．                                           …（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．