Question

已知t∈R，设函数f（x）=x³-

3(t+1)

2

x²+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值，求t的取值范围；
（Ⅲ）当t=1时，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）在（0，2）上无极值，即可求t的值；
（Ⅱ）分类讨论，利用函数的单调性，结合f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值，即可求t的取值范围；
（Ⅲ）当t=1时，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立，即x³-3x²+3x+1≤xe^x-5x²+5x-m+2分离参数，可得m≤x（e^x-x²-2x+2）+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，求出右边的最小值，即可求m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

3(t+1)

2

x²+3tx+1，
∴f′（x）=3（x-1）（x-t），
又f（x）在（0，2）上无极值，∴t=1；                 …（3分）
（Ⅱ）①当t≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴f（x）在[0，2]的最小值为f（1）=

1

2

+

3

2

t；
②当0＜t＜1时，f（x）在（0，t）单调递增，在（t，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴f（1）≤f（0）或f（t）≥f（2）
由f（t）≥f（2）得：-t³+3t²≥4在0＜t＜1时无解
∴

f(1)≤f(0) 0＜t＜1

，∴0＜t≤

1

3

； 
③当t=1时，不合题意；
④当1＜t＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，
∴

f(1)≥f(2) 1＜t＜2

或

f(t)≤f(0) 1＜t＜2

即

1 2 + 3 2 t≥3 1＜t＜2

或

- 1 2 t3+ 3 2 t2+1≤1 1＜t＜2

∴

5

3

≤t＜2或3≤t（舍去）
⑤当t≥2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，
∴f(x)max=f(1)=

1

2

+

3

2

t，
综上：t∈（-∞，

1

3

]∪[

5

3

，+∞）时，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最值．…（8分）
（Ⅲ）当t=1时，若f（x）≤xe^x-5x²+5x-m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立，即x³-3x²+3x+1≤xe^x-5x²+5x-m+2对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴m≤xe^x-x³-2x²+2x+1，
即m≤x（e^x-x²-2x+2）+1对任意x∈[0，+∞）恒成立
令g（x）=e^x-x²-2x+2，x∈[0，+∞）
∵g'（x）=e^x-2x-2，若g'（x）=ex0-2x0-2=0，则0＜x₀＜2，
∴g（x）_min=g（x₀）=ex0

-x

2 0

-2x0+2=2x0+2

-x

2 0

-2x0+2=4-

x

2 0

＞0，
∴xg（x）≥0，∴xg（x）+1≥1，∴m≤1．…（14分）

点评：本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．