Question

11．如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，E、F分别是AD、AB的中点．求证：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．

Answer 1

分析 证明平面EFB₁D₁∥平面BDC₁，可采用面面平行的判定定理，连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P得到BD∥平面EFB₁D₁．然后证明PN∥MC₁，则由面面平行的判定定理得答案．

解答 证明：连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P，
由题意，BD∥B₁D₁，
∵BD?平面EFB₁D₁，B₁D₁?平面EFB₁D₁，∴BD∥平面EFB₁D₁，
又∵A₁B₁=a，AB=2a，∴$M{C_1}=\frac{1}{2}{A_1}{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$．
又∵E、F分别是AD、AB的中点，
∴$NP=\frac{1}{4}AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$．
∴MC₁=NP．
又∵AC∥A₁C₁，∴MC₁∥NP．
∴四边形MC₁PN为平行四边形．
∴PC₁∥MN．
∵PC₁?平面EFB₁D₁，MN?平面EFB₁D₁，∴PC₁∥平面EFB₁D₁
∵PC₁∩BD=P，∴平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．

点评 本题考查面面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．