Question

1．已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，{a_n}的前n和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4对任意的n∈N^*恒成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式$λ（1-\frac{1}{a_1}）（1-\frac{1}{a_2}）…（1-\frac{1}{a_n}）cos\frac{{{a_{n+1}}π}}{2}＜\frac{1}{{\sqrt{{a_n}+1}}}$对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{c_n}，满足c₃₉=a₁₀₀₇，且存在正整数k，使c₁，c₃₉，c_k成等比数列，若数列{c_n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，分别在a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4中令n=1，2，3，进而计算即得结论；
（Ⅱ）通过a_n=2n可知cos$\frac{{a}_{n+1}}{2}$π=（-1）ⁿ⁺¹，设b_n=$\frac{1}{（1-\frac{1}{{a}_{1}}）（1-\frac{1}{{a}_{2}}）…（1-\frac{1}{{a}_{n}}）\sqrt{{a}_{n}+1}}$，进而不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；
（Ⅲ）当d=0显然满足题意，当d＞0时，利用a₁₀₀₇=2014可知c₁=2014-38d，进而可知c_k=2014+（k-39）d，化简${{c}_{39}}^{2}$=c₁c_k可知k=39+$\frac{53×38}{53-d}$∈N^*，结合c₁、d＞0计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4对任意的n∈N^*恒成立，
∴当n=1，2，3时，分别可得a₁b₁=4，a₁b₁+a₂b₂=20，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=68，
又∵a₁=2，
∴b₁=$\frac{4}{{a}_{1}}$=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}{b}_{2}=16}\\{{a}_{3}{b}_{3}=48}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2+d）（2q）=16}\\{（2+2d）（2{q}^{2}）=48}\end{array}\right.$，消去q整理得：3d²-4d-4=0，
解得：d=2或-$\frac{2}{3}$（舍），
∴q=2，a_n=2n，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）结论：存在非零整数λ=±1满足条件．
理由如下：
由a_n=2n，得cos$\frac{{a}_{n+1}}{2}$π=cos（n+1）π=（-1）ⁿ⁺¹，
设b_n=$\frac{1}{（1-\frac{1}{{a}_{1}}）（1-\frac{1}{{a}_{2}}）…（1-\frac{1}{{a}_{n}}）\sqrt{{a}_{n}+1}}$，则不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n，
∵b_n＞0，且$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{\sqrt{2n+1}•\sqrt{2n+3}}$＞1，
∴b_n+1＞b_n，数列{b_n}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n对一切n∈N^*都成立，则：
①当n为奇数时，得λ＜（b_n）_min=b₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当n为偶数时，得-λ＜（b_n）_min=b₂=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$，即λ＞-$\frac{8\sqrt{5}}{15}$；
综上，λ∈（-$\frac{8\sqrt{5}}{15}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），由λ是非零整数可知λ=±1满足条件；
（Ⅲ）易知d=0，成立；
当d＞0时，c₃₉=c₁+38d=2014，c₁=2014-38d，
c_k=c₃₉+（k-39）d=2014+（k-39）d，
∵${{c}_{39}}^{2}$=c₁c_k，
∴（2014-38d）[2014+（k-39）d]=2014²，
∴38（53-d）[2014+（k-39）d]=2014²，
∴（53-d）[2014+（k-39）d]=53×2014，
∴-（k-39）d²+53（k-77）d=0，
∴（k-39）d=53（k-77），
∴（d-53）k=39d-53×77，
∴k=$\frac{39d-53×77}{d-53}$=$\frac{39（d-53）+53×39-53×77}{d-53}$=39-$\frac{53×38}{d-53}$=39+$\frac{53×38}{53-d}$∈N^*，
又∵c₁=2014-38d=38（53-d）＞0，d＞0，
∴0＜53-d＜53，
∴53-d=1，2，19，38，
∴d=52，51，34，15，
于是公差d的所有可能取值之和为152．

点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．