Question

6．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（满分100分，均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．根据图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数．（精确到0.1）；
（2）按分层抽样的方法在数学成绩是[60，70），[70，80）的两组学生中选6人，再在这6人种任取两人，求他们的分数在同一组的概率；
（3）若从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取3个学生，设这3个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由各组的频率和等于1，能求出第四组的频率，并能作出频率直方图．
（2）按分层抽样的方法从中选6人，则数学成绩是[60，70）的学生中选2人，数学成绩是[70，80）的学生中选4人，由此能求出他们的分数在同一组的概率．
（3）由频率分布直方图得数学成绩为80分以上（包括80分）的概率为0.3，任意抽取3个学生，设这3个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出X的数学期望．

解答 解：（1）∵各组的频率和等于1，
∴第四组的频率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
作出频率直方图如右图：
（2）数学成绩是[60，70）的学生数所占频率为0.15，数学成绩是[70，80）的学生所点频率为0.3，
按分层抽样的方法从中选6人，则数学成绩是[60，70）的学生中选2人，数学成绩是[70，80）的学生中选4人，
从这6人中任取两人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
他们的分数在同一组包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}$=7，
∴他们的分数在同一组的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{7}{15}$．
（3）由频率分布直方图得数学成绩为80分以上（包括80分）的概率为0.3，
任意抽取3个学生，设这3个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，则X～B（3，0.3），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}0．{7}^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}0.3•0．{7}^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}0．{3}^{2}•0.7$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}0．{3}^{3}$=0.027，
∴X的数学期望EX=3×0.3=0.9．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．