Question

16．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC、CD=2AB=4，∠A=$\frac{2π}{3}$，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列式子不正确的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{b}$|=2
• B． |2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$
• C． 2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2
• D． $\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=1

Answer 1

分析 以等腰梯形的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意求出$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（2，0），再根据向量的坐标运算和向量的数量积公式和向量的模即可判断．

解答 解：以等腰梯形的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵AB∥DC、CD=2AB=4，∠A=$\frac{2π}{3}$，
∴A（-1，0），B（1，0），C（2，$\sqrt{3}$），D（-2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（2，0），
∴|$\overrightarrow{b}$|=2，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-3，$\sqrt{3}$），2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1×2+$\sqrt{3}$×0=-2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$=0，
故选：D．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积和向量的模，关键是建立坐标系，属于中档题