Question

8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=8，BC=5，AA₁=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A₁E=D₁F=2，AH=DG=5．
（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．
（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．
解法二：以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．

解答 （本题满分（14分），第1小题满分（6分），第2小题满分8分）
解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，
${V_{A{A_1}EH-D{D_1}FG}}=\frac{1}{2}•（{A_1}E+AH）•{A_1}A•AD=\frac{1}{2}•（2+5）•4•5=70$，…（2分）
${V_{BHE{B_1}-CGF{C_1}}}=\frac{1}{2}•（BH+{B_1}E）•{B_1}B•BC=\frac{1}{2}•（3+6）•4•5=90$，…（4分）

所以，$\frac{{{V_{A{A_1}EH-D{D_1}FG}}}}{{{V_{BHE{B_1}-CGF{C_1}}}}}=\frac{7}{9}$．…（6分）
（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB₁A₁，故HG⊥AM，
所以AM⊥平面EFGH．   …（2分）
因为${S_{梯形A{A_1}EH}}=14$，${S_{△A{A_1}E}}=4$，所以S_△AEH=10，）
因为EH=5，所以AM=4．    …（4分）
又$AF=\sqrt{AA_1^2+{A_1}D_1^2+{D_1}{F^2}}=3\sqrt{5}$，…（6分）
设直线AF与平面α所成角为θ，则$sinθ=\frac{AM}{AF}=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．…（7分）
所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为$\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．           …（8分）
解法二：以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），…（2分）
故$\overrightarrow{FE}=（5\;，\;0\;，\;0）$，$\overrightarrow{HE}=（0\;，\;-3\;，\;4）$，…（3分）
设平面α一个法向量为$\vec n=（x\;，\;y\;，\;z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{FE}=0\;\\ \vec n•\overrightarrow{HE}=0\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}5x=0\;\\-3y+4z=0\;\end{array}\right.$
所以可取$\vec n=（0\;，\;4\;，\;3）$．    …（5分）
设直线AF与平面α所成角为θ，则$sinθ=\frac{{|\vec n•\overrightarrow{AF}|}}{{|\vec n||\overrightarrow{AF}|}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$． …（7分）
所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为$\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．   …（8分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．