Question

5．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（1）求证：PA⊥AB；
（2）设M为PD的中点，求三棱锥M-PAB的体积．

Answer 1

分析 （1）取CD中点E，由已知可证ABCE是矩形，得AE⊥CD，又PC=PD，得PE⊥CD，再由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAE，从而得到CD⊥PA，进一步得到PA⊥AB；
（2）由（1）知，PA⊥平面ABCD，再由M是PD的中点，然后利用等积法求得三棱锥M-PAB的体积．

解答 （1）证明：取CD中点E，则CE=1，
由AB∥CD，AB=1，AB⊥BC，得ABCE是矩形，∴AE⊥CD，
∵PC=PD，∴PE⊥CD，又PE∩AE=E，
∴CD⊥平面PAE，而PA?平面PAE，∴CD⊥PA，
又CD∥AB，∴PA⊥AB；
（2）解：由（1）知，PA⊥平面ABCD，
∵M是PD的中点，
∴${V_{M-PAB}}=\frac{1}{2}{V_{D-PAB}}=\frac{1}{2}{V_{P-ABD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．