Question

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2

3

），离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆P的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R、T，且满足

OR

•

OT

=8，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆P的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由椭圆经过点A（0，2

3

），离心率为

1

2

，求得a和b的值，
从而求得椭圆P的方程．
（Ⅱ）由y=kx-4代入椭圆方程可得x₁+x₂和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根据

OR

•

OT

=8，求出k，从而得到直线l的方程．

解答： 解：（I）设椭圆P的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意得b=2

3

，

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴椭圆P的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．
（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，

OR

•

OT

＜0，不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．
∵

OR

•

OT

=8，∴x₁x₂+y₁y₂=8，
由y=kx-4代入椭圆方程可得（3+4k² ）x²-32kx+16=0，
由△=（-32k）²-4（3+4k²）×16＞0，
解得k²＞

1

4

①．
∴x₁+x₂=

32k

3+4k2

，x₁x₂=

16

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁x₂+y₁y₂=

16

3+4k2

-

48-48k2

3+4k2

=8
∴k²=

1

2

②，
由①、②解得 k=±

2

2

，∴直线l的方程为y=±

2

2

x-4，
故存在直线l：y=±

2

2

x-4满足题意．

点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解题的关键．