Question

3．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≥1\\ 2x-y≤4\end{array}\right.$，则$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值与最小值的比值 为（　　）

• A． $\frac{12}{7}$
• B． $\frac{77}{75}$
• C． $\frac{95}{36}$
• D． $\frac{125}{77}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合求出$\frac{y}{x}$的范围，然后利用配方法求出$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值与最小值得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≥1\\ 2x-y≤4\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{2x-y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{3}，-\frac{2}{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{2x-y=4}\end{array}\right.$，得B（3，2）．
∴$\frac{y}{x}∈$（$-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}$），
则$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}+\frac{1}{3}（\frac{y}{x}）+1$=$（\frac{y}{x}+\frac{1}{6}）^{2}+\frac{35}{36}$．
∴当$\frac{y}{x}=-\frac{1}{6}$时，${z}_{min}=\frac{35}{36}$，当$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$时，${z}_{max}=\frac{60}{36}$．
∴$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值与最小值的比值为$\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．