Question

18．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+5=0
（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；
（2）设曲线C上任意一点为P（x，y），求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+5=0，利用互化公式可得：曲线C的直角坐标方程直线l的直角坐标方程为xsinα-ycosα+sinα=0，利用点到直线的距离公式及其直线与曲线相切的充要条件即可得出．
（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ．可得x+y=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$+3，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+5=0，
可得曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-6x+5=0，配方为：（x-3）²+y²=4，
直线l的直角坐标方程为xsinα-ycosα+sinα=0，
由直线与曲线相切得：$\frac{|3sinα+sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+（-cosα）^{2}}}$=2，
所以|sinα|=$\frac{1}{2}$，
因为α∈[0，π），所以α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
（2）设x=3+2cosθ，y=2sinθ．
则x+y=3+2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$+3∈$[3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．