Question

下列说法：
①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②关于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③对于函数f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），则有当a=1时，?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
其中正确的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①通过含义一个两次的命题的否定形式，即可判断；
②关于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立?a＜t+

2

t

恒成立，令t=sin²x（0＜t≤1），通过求导，求出t+

2

t

的最小值即可；
③若g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点，即f（x）=kx，

x

1+|x|

=kx，有一根0，k=

1

1+|x|

有两根，则0＜k＜1，即可判断．

解答： 解：①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，故①对；
②令t=sin²x（0＜t≤1），则sin²x+

2

sin2x

=t+

2

t

，（t+

2

t

）′=1-

2

t2

＜0，则（0，1]为减区间，
t=1时，t+

2

t

取最小为3，又关于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，故a＜3．故②对；
③对于函数f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），则有当a=1时，f（x）=

x

1+|x|

，
若g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点，即f（x）=kx，

x

1+|x|

=kx，有一根0，k=

1

1+|x|

有两根，则0＜k＜1，故③错．
故答案为：2．

点评：本题考查函数的性质和应用，考查函数的单调性和应用：求最值，同时考查命题的否定和存在性命题的判断，属于中档题．