Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1若对于x₁、x₂∈（0，+∞），都有 

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0．
（1）求f（1），f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（2-x）≥-3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，可求f（1）；令x=2，y=

1

2

，可求f（2）．
（2）先令x=y=2，求出f（4），再求出f（8）=-3，将原不等式化为f（-x）+f（2-x）≥f（8），再由条件得到函数的单调性，注意定义域，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1×1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0，
又令x=2，y=

1

2

，
∴f（1）=f（2）+f（

1

2

），
∴f（2）=-1；
（2）∵f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
∵f（2×4）=f（2）+f（4），
∴f（8）=-1-2=-3，
∵x₁、x₂∈（0，+∞）时，都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
∵f（-x）+f（2-x）≥-3．
∴f（x（x-2））≥f（8）
∴

-x＞0 2-x＞0 x(x-2)≤8

，
∴-2≤x＜0，
∴原不等式的解集为[-2，0）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和应用，注意函数的定义域，同时考查抽象函数值的求法：赋值法，属于中档题．